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Imaginez si votre pantalon cassé plusieurs trous, chaque trou de formes, mais la largeur ne dépasse pas un centimètre.
Comment concevoir un patch générique, être en mesure de remplir tous les trous sont là-dessus?
Le problème en mathématiques est appelé: problèmes de couverture universelle (problème de couverture universelle) .
Elle a donné des mathématiciens de façon pensé pour une centaine d'années.
Tout d'abord son haut, cela ressemble à une question très simple.
Mais réfléchissez-y un peu, il ne semble pas si simple.
Par exemple, une longueur de côté d'un triangle isocèle, et un cercle ayant un diamètre de 1 diamètre sont tous deux 1.
Cependant, ce triangle ne peut pas être empreinte circulaire.
Récemment, un programmeur à la retraite, avec Méthode d'études secondaires Nous avons fait de nouveaux progrès.
Pourquoi est-il si difficile?
Le problème de l'auteur, le célèbre mathématicien français: Lebesgue (Henri Léon Lebesgue).
Henri Léon Lebesgue
Il a proposé d'élargir intégrale de Lebesgue la portée de l'étude du calcul.
En 1914, il a donné un bon ami Julius Pál (également mathématicien) a posé une question lors de l'écriture:
Dans un plan, pour trouver un espace minimum, il peut couvrir une surface d'un diamètre de plus d'une unité?
Diamètre de pas plus de 1 unité Toute forme est une courbe fermée sur le bord, les plus éloignées de deux points ne fait pas plus d'une unité.
La partie la plus difficile de ce problème:
Non exhaustive de tous Forme ayant un diamètre de 1 dans le regard final comme .
forme Diamètre des milliers et des milliers de 1, à la fin ce genre de patch pour une couverture universelle avec tous les autres?
revêtement universel approche « universelle »
Mais ce problème n'est pas difficile à utiliser, aussi longtemps que vous avez une base de mathématiques de l'école, vous pouvez essayer.
Ensuite, regardons les méthodes actuelles mathématiciens pour résoudre ce problème.
Ayant un diamètre de 1 doit couvrir une région R pour démarrer.
Je ne sais pas l'air R comme, pour déterminer le point est: il ne sera pas supérieure à la largeur d'une unité.
Ensuite supposer qu'il a deux points et B, -A et une distance d'une unité.
Maintenant, nous partons du principe que, en plus de A et B, il y a un point dans la région de R C.
C peut alors où est-il?
Il ne peut pas être supérieure à 1 unité A, ce qui signifie qu'il doit être centrée et dans un cercle de rayon 1.
Mais un autre problème est que la distance B et C non plus d'une unité.
Par conséquent, C doit être au centre, et B est un cercle de rayon 1.
Il est donc déterminée à la position C de l'intersection circulaire de deux positions.
Les distances A et B ne peut excéder 1. Cette condition applique non seulement aux points C, est également applicable à chacun des points dans la région R.
Par conséquent, chaque point R doit être dans la zone d'intersection de ces deux cercles.
En d'autres termes, le diamètre de cette région peut couvrir tous les ensembles possibles de R 1, il est zone de couverture universelle .
Mais pas la plus petite superficie de la région, il faut que ce soit la taille.
On notera que le point d'intersection de la forme de cercle de deux triangles équilatéraux, les sommets oui oui A, B et AB est le point médian de la distance verticale entre les deux points supérieur et inférieur 3 / 2.
Parce que 3 / 2 est supérieur à 1/2, nous pouvons tracer deux lignes parallèles, et parallèle à AB, AB de 1/2 unités.
Maintenant, considérons la région rouge de la figure inférieure.
Étant donné que la distance entre les deux lignes parallèles est de 1 unité, le diamètre de l'ensemble 1 ne peut pas apparaître à la fois dans la région du rouge. Nous pouvons supprimer un.
Un tel universel couvrant une surface de l'original (2 / 3) - (3 / 2) 1.228, réduit à ( / 2) -1 / 2 1,071
D'un début de couverture universelle de base, vous pouvez En enlevant une partie non pertinente pour réduire sa zone .
C'est mathématiciens Obtenir le minimum sur toutes les méthodes surchargées .
Optimisation: hexagone Pál
Par une technologie plus avancée, nous allons trouver d'autres formes simples.
Pál en utilisant une courbe caractéristique d'émission de largeur constante:
Même si le diamètre d'un ensemble de courbes 1, à partir du diamètre circulaire peut être « étiré » sur 1, il peut toujours être déplacé ou mis en rotation pour accueillir le cercle entouré hexagones.
La figure suivante montre le Pál proposé, peut couvrir une variété de formes (diamètre 1) hexagonal.
Forme entre la figure ci-dessus est un triangle de Reuleaux (triangle de Reuleaux), qui est une courbe de largeur constante est étroitement liée à notre couverture mentionnée dans la section précédente million.
triangle de Reuleaux est un arc de triangle par trois le même cercle peut être obtenu.
La zone hexagonale est 3 / 2 0,866 , Plus petite que la zone de la section, nous avons obtenu.
Mais Pál a également dit que ne nécessite pas l'ensemble de l'hexagone.
Il tourné à travers intelligent, enlevé une partie sans rapport.
Tout d'abord, les deux hexagones Pál empilés ensemble.
Dans lequel un centre de rotation de 30 degrés autour de l'hexagone.
Il y a eu six petit triangle rouge.
Chaque petit triangle rouge, hexagone ne sont pas mis en rotation à l'intérieur de l'extérieur, et un hexagone rotatif.
Puisque chaque côté de l'hexagone est la distance parallèle à une unité, de sorte que distance de point en face de deux petit triangle rouge certainement plus d'une unité.
Autrement dit, un ensemble de formes ayant un diamètre de 1 ne peut pas être à deux opposées petit triangle rouge.
Le long des lignes de la section précédente, vous pouvez penser qu'il devrait être retiré des 6 petits triangles trois petits triangles, mais en fait ne suffit pas.
Du fait d'un hexagone tourné de 60 degrés ou inversé de la symétrie, changent la forme ne se produit pas.
Par conséquent, un triangle rouge ne sélectionner deux méthodes différentes d'une paire de opposés:
Trois triangles peuvent être continues, ou peuvent être en alternance.
Cependant, nous pouvons enlever deux si petit triangle. a fait Pál.
Il a coupé deux triangles de son hexagone, pour donner une garantie pour couvrir l'ensemble de la nouvelle forme d'une région d'un diamètre de 1.
Ce nouveau revêtement universel de la zone 2-2 / 3 0,8453 , Légèrement inférieure à la surface hexagonale. Mais hexagone Pál n'est pas la solution optimale.
Sur cette base, les mathématiciens et les amateurs de mathématiques continuent à réparer un sécateur.
En 1992, le mathématicien Roland Sprague et HC Hansen sur six pans Pál moins trois petites bandes minces.
La zone est réduite à ,844137708416 .
Sprague réduite 0,001 par unité de surface, Hansen réduite ,00000000004 par unité de surface.
Les programmeurs avec la retraite approchant de la limite de la haute géométrie de l'école, deux fois
Puis, deux ans plus tard, le problème est aucun progrès.
Jusqu'en 2014, un ingénieur logiciel retraité nommé Philip Gibbs tente de résoudre ce problème de mathématiques.
Il a utilisé son avantage d'arrière-plan de la programmation, essayez d'utiliser un ordinateur pour résoudre la solution.
Philip Gibbs
Gibbs premier diamètre de 200 simulation par ordinateur généré de manière aléatoire de la forme 1.
Les résultats de la simulation indiquent qu'il peut être en mesure de couper un minimum universel couvrant une partie de la zone dans le coin supérieur de l'espace.
Il a ensuite prouvé que les nouvelles couvertures Toutes les formes possibles d'un diamètre de 1 sont applicables .
Février 2015, Gibbs et deux co-chercheurs dans un article publié en ligne.
adresse papiers: https: //arxiv.org/abs/1502.01251
Ils surface la plus petite de couverture universelle est réduite à partir de 0,8441377 0.8441153 Par unité de surface.
Sa stratégie est de déplacer toutes sous la forme d'un diamètre de dix mille ans plus tôt, il avait trouvé un coin de la couverture.
Ensuite, les parties d'angle sont retirées toute région restante, mais, du point de vue de sauver la mesure de la surface, il est très précis.
Bien que cette réduction est seulement 0,0000224 par unité de surface, mais il est presque Hansen en 1992 réduit la zone 100 fois !
Cependant, cela ne l'empêche pas de plus « coupe. »
Octobre 2018, Gibbs seul a publié un article, Wan aura à nouveau la plus petite empreinte réduite .
adresse papiers: https: //arxiv.org/abs/1810.10089
Vous savez, et une couverture étroite sur la base de Gibbs n'a pas été facile. A partir de l'Université de Californie, Riverside mathématicien John Baez a déclaré:
Vous ne pouvez pas vraiment mettre ces pièces tirées, parce qu'ils sont de la taille d'un atome.
Et Gibbs a dépassé une nouvelle fois les limites, appelé atomes Ciseaux .
Cette fois-ci, son départ est au point A et le point l'image ci-dessus E.
La zone minimale est la finale, à travers cette étude, ce qui 0,8440935944 .
Il est à noter que la méthode expérimentale est essentiellement appartiennent la connaissance de la géométrie d'études secondaires .
Bates a évalué:
D'un point de vue mathématique, ce n'est que la difficulté de la haute géométrie de l'école, mais il rend presque fou.
Le défi ultime, continuera
Bien que la question n'a pas été définitivement résolu, mais en 2005, il y avait un mathématicien théorique calculé la limite inférieure de cette question, la portée de couverture universelle au moins 0,832 Par unité de surface.
Enfin, une étape par étape pour atteindre la fin les gens attendent encore à franchir, la difficulté reste que le diamètre de seulement la forme en constante évolution, étant donné la portée de la finale nécessaire pour couvrir toutes les possibilités.
Si vous le faites, le nom va charger l'histoire des mathématiques.
portail
le blog QuantaMagazine: https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-can-cover-even-the-most-complex-holes-20200108/ https://www.quantamagazine.org/amateur-mathematician-finds-smallest-universal-cover-20181115/
projet GitHub Adresse: https://github.com/guadaran/lebesgue-universal-covering-problem
- FIN -
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