Étude des nombres a été au cur des mathématiques. Malgré accumulé beaucoup de connaissances dans les siècles passés, Théorie des nombres (Théorie des nombres) conserve encore les mystères sans fin de plus en plus du concept le plus de simple: entier La relation entre les deux. Étant donné que le nombre entier est la pierre angulaire de tout le développement des mathématiques, la théorie des nombres et donc beaucoup d'autres branches des mathématiques sont en contact. Les théoriciens des nombres apprendront des idées d'autres domaines de l'analyse, l'algèbre, la combinatoire, la géométrie et la physique théorique ou de la science informatique.
Même dans un besoin de largeur d'une telle disciplines, Akshay Venkatesh Il restera des problèmes de la théorie des nombres associés à des résultats profonds dans d'autres domaines jusqu'à des façons originales de se démarquer, il a également remporté le prix de mathématiques supérieures - la médaille Fields. Venkatesh est pas seulement les résultats dans d'autres domaines tels que la théorie des nombres pour résoudre le problème de la « boîte noire », il plus de résultats apportent de nouvelles idées, mettre en évidence inattendue entre eux et la théorie des nombres de contact. De cette façon, il a réalisé dans le domaine de la théorie des nombres progrès étonnants, mais aussi grandement enrichi les autres branches des mathématiques.
Institute for Advanced Study dans la bibliothèque Akshay Venkatesh. | Source: Sasha Maslov
Dans cet article, nous allons nous concentrer sur la compréhension Venkatesh trois des travaux, afin d'illustrer la profondeur et l'ampleur de son travail.
Tout d'abord, le regard let un exemple d'un polynôme: x² + xy + 7y² + yz + 12z². Cette expression apparemment triviale, contient en fait une énorme complexité, car il simule les interactions complexes entre l'addition et la multiplication. Cette expression est un cas quadratique, il est que l'on peut avoir un certain nombre de variables, mais la puissance maximale de l'indice polynôme 2.
Un problème fondamental est que, si le remplacement par un variables entières quadratique x, y, z, ce qui donnera un nombre entier. Par exemple, le x² terme quadratique ne produira un carré parfait, et w² + x² + y² + Z² produira tous les nombres naturels, ce qui est Lagrange (Joseph-Louis Lagrange) la preuve du fait que, en 1770.
En 1801, publié uvre monumentale « recherche Arithmétique » (Disquisitiones Arithmeticae), la gauss (Carl Friedrich Gauss) montre comment remplacer une simple transformation quadratique par une autre variable. Une telle conversion peut grandement simplifier quadratique, mais tout entier généré par une forme simple, peut être produite à partir de la forme originale, mais pas nécessairement tourner à droite. Autrement dit, si nous pouvons de cette manière que contiendra m variables du second degré P, Q dans la seconde comprend des variables de type n et m n, nous disons, P désigne un Q.
Dans quelles circonstances une forme quadratique par un autre exemple du second degré alors? voici Hilbert (David Hilbert) variantes liste des problèmes bien connus en 1900 a soulevé les premiers 11 numéros. En 1978, John S. Hsia , Yoshiyuki Kitaoka et Martin Kneser Atteint une étape importante du progrès, ils ont prouvé que, si m 2n + 3, alors P est Q.
Pendant trois décennies, les mathématiciens ne savent pas si vous pouvez établir une relation plus précise entre m et n. Reconnue comme le meilleur résultat est probablement m 2n + 2. C'est pourquoi, quand et collaborateurs Venkatesh Jordan Ellenberg En 2008, prouvé que m distance et n sont possibles qu'on ne le pensait être proche de beaucoup de temps, il était si surprenant - ils ont prouvé que, Si mn + 5, alors P représente Q .
Plus surprenant encore est leur preuve, ils sont de la théorie des systèmes dynamiques aperçu excavé puissant (théorie des systèmes dynamiques) dans. ils grille (Lattice, dans l'espace à n dimensions ensemble régulièrement disposés de points, le point est considéré entier marqué) pour regarder le fond de ce problème. Dans le domaine de la théorie des nombres en utilisant la grille a une longue tradition, qui remonte à la fin du 19ème siècle Minkowski (Hermann Minkowski) a fait le concept de "géométrie des nombres". Grid est un système dynamique dans un domaine naturel, où nous serons sous les effets des systèmes variant dans le temps réseau coulant, vu que les particules de poussière circulant dans la brise.
rencontré dans le triangle frontalier rebondir la balle est un système dynamique simple. | Source: ICM
Certaines des idées les plus profondes sur les flux du réseau, au début des années 1990, un point de repère du théorème de la Marina Ratner vient. Son théorème prédit, dans les effets à long terme des systèmes dynamiques, réseau circulera là où il est. Ellenberg et Venkatesh ont profité d'un théorème de Ratner variante, ce changement physique de sorte qu'ils seront appliqués au deuxième type de dynamique treillis indiquent un problème.
Ceci est non seulement une réalisation exceptionnelle dans le domaine de la théorie des nombres et la théorie des systèmes dynamiques, les chercheurs sont excités, ils vont bientôt ces nouvelles idées pour ajouter à leur boîte à outils.
forme représente la première quadratiques temps de travailler avec Venkatesh préimprimé sur 2005 solides résultats sur (après 2010, en collaboration avec Philippe Michel étendre et publié). Ce qui, Venkatesh explorer une technique, plus riche connu sous le nom SUBCONVEXLIKENESS (Subconvexity) problèmes, et d'une manière audacieuse et novatrice, en le plaçant dans une nouvelle, mettant l'accent sur des liens avec d'autres domaines des mathématiques (en particulier du système dynamique) de la scène.
Le deuxième exemple de travail Venkatesh pour montrer un métier similaire, il a appliqué dans d'autres domaines de l'outil sur plusieurs domaines créer des progrès étonnants, cette topologie de temps. Une caractéristique fondamentale est la nature unique du factorisation entier: il est tout entier et le produit d'un seul moyen d'exprimer comme un nombre premier.
Un exemple typique est le nombre entier peut être construit anneau (Ring), tandis que l'anneau est un ensemble contenant trois opérations comme l'addition, la soustraction et la multiplication de l'objet. Des exemples d'un anneau, qui peuvent être appelées R Comme un + b-5 (a, b est un nombre entier) le nombre de ces ensembles. L'avantage de R est qu'il contient la solution de l'équation telle que x² = -5, qui est concentrée dans le nombre entier insoluble.
R, mais a aussi un inconvénient: il n'a pas la factorisation unique. Par exemple, dans l'anneau R, 9 peut être divisée en 3 × 3, peut être décomposé en (2 + -5) × (2--5). anneaux classe (Numéro de classe) est un nombre entier, qui est une mesure du degré de l'anneau ne peut pas être la seule décomposition des facteurs. Classe apparaît dans tous les coins du champ de la théorie des nombres, mais à la fin, ils sont encore un mystère comment les changements dans l'ensemble de tous anneau.
Parce qu'il ya peu d'outils théoriques peuvent être utilisés pour comprendre le nombre de classes, mais mathématicien calcule le nombre de classes et de leur mode de recherche. Il est par cette expérience, combinée à un aperçu profond, Henri Cohen et Hendrik Lenstra Il a fait quelques résultats étonnants, inspiré en 1984. Par exemple, il y a lieu d'attendre le nombre de distribués de façon aléatoire en fonction de l'ensemble des entiers, et, par conséquent, peut être un nombre entier d'environ un tiers divisible par 3. De façon surprenante, selon la heuristiques Cohen-Lenstra (Heuristique Cohen-Lenstra) de prédiction, en fait, ce rapport est d'environ 43%.
Pourquoi heuristiques Cohen-Lenstra efficacité? Bien après 30 années de recherche, la réponse reste difficile à atteindre. Puis, en 2016, Venkatesh et collaborateurs Jordan Ellenberg et Craig Westerland Nous avons réalisé une percée majeure. Ils se concentreront sur un certain nombre de classe de problèmes plus étroits, l'anneau est pas un entier, mais est appelé Les champs Fonction Anneau d'objets connexes, puis en termes de compréhension heuristiques Cohen-Lenstra a fait des progrès importants. Leur stratégie est de transformer la question dans le domaine de la topologie, une branche des mathématiques qui étudie les propriétés de base de forme.
Mathématiciens ont le problème de domaine de fonction connue peut être transformé en topologie. Mais la topologie est une vaste zone, il a une énorme boîte à outils. Quels sont les outils disponibles à la fin de celui-ci? Ceci est un aperçu Venkatesh avéré place cruciale, cette vision l'a amené et collègues de travail la stabilité Coherent (Stabilité Homological) Le concept d'utilisation topologique eux, c'est un concept très moderne, est l'objet d'un grand nombre d'études récentes.
Ils ont montré que la topologie d'un nouveau résultat, une classe est appelée espace Hurwitz la stabilité Coherent (espace Hurwitz) objets topologiques, cela se traduira à son tour appliqué au champ de la théorie des nombres pour prouver la validité de certains de champ de fonction de prédiction Cohen-Lenstra. Encore une fois, le travail Venkatesh enrichit les deux branches des mathématiques éloignées.
Akshay Venkatesh: | Source "manipulation numérique ne peut me faire plaisir.": ICM
Le dernier exemple du travail Venkatesh n'est pas un résultat final, mais il a fait un nouveau gras partenaires et des conjectures. Le suspect est un lien profond entre le phénomène de la théorie de la topologie et le nombre d'expliquer les deux domaines, car ils montrent le rôle de pionnier Venkatesh dans la nouvelle direction d'étude. Ces idées dans l'année scolaire 2017-2018, il a dirigé le séminaire a attiré une réponse enthousiaste.
Cette conjecture pousse maintenant avec beaucoup de recherches mathématiques Programme de Langlands (Programme de Langlands, voir « mathématiques grande théorie unifiée ») connexes. Langlands programme envisagé la relation entre le réseau apparaissent dans différentes branches des mathématiques (y compris la topologie, l'analyse, l'algèbre et la théorie des nombres) de divers phénomènes. Mathématicien est loin d'être terminé tout le programme de Langlands, mais certains cas particuliers ont été confirmés. Peut-être l'exemple le plus célèbre est dans les années 1990, par le Andrew Wiles terminé Le dernier théorème de Fermat (Le dernier théorème de Fermat) la preuve.
Ce travail est dérivé de la méthode Taylor-Wiles a été connu comme connecté Elliptic Curve (Courbe elliptique) avec les objets géométriques est appelée formes modulaires (Sous forme modulaire) est un outil puissant pour résoudre l'objet - qui est associé à la prédiction du programme de Langlands. méthode Taylor-Wiles, bien que très puissant, mais au moment où il a été initialement proposé, appliquer seulement à une scène limitée - qui est appelé Shimura variété (Variété Shimura) un type particulier d'objets géométriques. Une méthode récente Taylor-Wiles sera étendue à la variété des résultats non-Shimura, figuré en bonne place dans le dernier travail de Venkatesh.
L'étude a porté sur un groupe appelé Localement Espace Symmetric (Sur l'espace symétrique localement) des objets topologiques. Venkatesh et ses collaborateurs ont trouvé que la topologie de ces espaces a une symétrie inattendue. Ceux-ci apparaissent dans la symétrie du groupe cohomologie espace symétrique localement. groupe cohomologie est essentiellement un espace peut être considéré comme le nombre de mesures de l'espace des pores.
Venkatesh a mis au point une vision, en faisant appel à l'un est appelé Sur la principale cohomology (Cohomologie motivique) dans différents domaines des mathématiques pour expliquer ces symétries. Cette méthode d'interprétation utilisant Taylor-Wiles l'expansion, et, en tant que sous-produit, cette méthode peut également être formé compréhension plus profonde. Le travail est loin d'être complète, mais il est des attentes premières qu'il fournira une étape clé vers une compréhension globale du programme de Langlands.
La plupart des mathématiciens sont des solutionneurs de problèmes, soit les constructeurs de la théorie, et Akshay Venkatesh est à la fois à la fois. De plus, un certain nombre de théoriciens, il a pu développer une compréhension approfondie des anomalies dans plusieurs zones distinctes et la théorie des nombres. Une telle connaissance approfondie lui a permis de mettre les problèmes en théorie des nombres en situation nouvelle, qui donne le droit de mettre en évidence la vraie nature du problème. Avenir, seulement 36 ans Venkatesh continuera à nous conduire à explorer les limites de la théorie des nombres et d'autres domaines des mathématiques.
Les liens de référence:
https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2018/venkatesh-final.pdf
https://www.quantamagazine.org/fields-medalist-akshay-venkatesh-bridges-math-and-time-20180801/
https://plus.maths.org/content/AV
