Et les angles d'un triangle est le nombre de 180 °?. Ceci est la réponse donnée dans le manuel, qui est de deux mille ans depuis l'apparition de la géométrie, l'esprit du peuple la seule réponse correcte. Mais un jeune mathématicien russe a ouvert l'esprit fermé du peuple, a fait époque du développement de la géométrie. Après cela, les réponses à cette question, il y a de nombreux, et qui est, les angles d'un triangle peut être un degré quelconque dans une certaine plage! 180 ° de la situation juste un cas très particulier.

Laissez-nous dans le monde étrange de la géométrie, la géométrie se sentir ce monde de la tourmente il.

mathématicien audacieux défi russe

Je suis allé à l'école secondaire qui ont étudié la géométrie, et peut-être se souviennent encore quelques-uns des axiomes ou théorèmes d'entre eux, tels que « deux points déterminent une ligne », « trop peu et que dans une ligne droite parallèle à la ligne droite (ne pas recoupé) à l'extérieur droit « et ainsi de suite. Ce sont l'ancien résumé mathématicien du 3e siècle avant notre ère, un homme géométrie d'Euclide nommé, par cinq axiomes est construit. Pour ces axiomes, peut-être que nous ne doutions. Deux mille ans, personne ne doute qu'ils ne sont que pour « un peu trop droite à l'extérieur et seulement une ligne droite parallèle avec le (disjoint) » axiome parallèle (figure 1), mais les gens ne savent pas comment le prouver, Je me demande combien de chercheurs d'essayer de prouver, mais sans succès.

1815, Nianqing de la Russie Shuoxue Jia Luobaqiefu Si Ji (1792-1856) a également Xiang Zhengming il, Buguotabing Mo Youqu Zhongfu Gongzuoqianren de, mais de Cong Ren Qian Shi Bai dans Xunzhaoqidi. Il a constaté que, peu importe la façon dont prouvé cet axiome sont la preuve ne vient pas, alors il interrogé hardiment: « Est-il possible cet axiome ne tient pas? »

Il a supposé axiome parallèle gras et de création n'a pas été établie, « une ligne droite passant par le point extérieur, au moins deux lignes ne se croisent la ligne droite. » (Fig. 2), de sorte qu'il utilise un axiome parallèle théorique opposée à remplacer axiome parallèle et conserver les quatre autres axiomes de la géométrie euclidienne ne change pas, alors le raisonnement, même lancé une série de conclusions bizarres.

Par exemple, les angles d'un triangle et ne sont plus à 180 °, la présence d'une longueur infiniment grand côté du triangle ...... bizarre si ces théories, mais ne sont pas contradictoires les unes aux autres, et non pas défier la logique. Le raisonnement de jeu complètement autonome de la nouvelle théorie géométrique, très complet et très serré. Lobatchevski a appelé « la nouvelle géométrie. »

De nombreuses conclusions Roche nouvelle géométrie est clairement contraire à la géométrie traditionnelle, par conséquent, lorsque le mathématicien Gauss a appelé « la géométrie anti-européenne » et plus tard changé à « géométrie non euclidienne. » La géométrie non-euclidienne pour sensibiliser la population, en plus de la géométrie euclidienne traditionnelle, il peut y avoir d'autres géométrique, la pensée des gens est devenu actif, la porte à un vaste monde de la géométrie a été ouverte.

La nouvelle géométrie de la surface

Pour comprendre la géométrie non-euclidienne, nous devons d'abord comprendre ce qui est une ligne droite.

Dans la géométrie euclidienne classique, et il n'a pas donné une définition précise du point ou une ligne, mais exprimé par de nombreuses théories, à comprendre qu'une ligne droite est la ligne la plus courte entre deux points. Il est donc pas nécessairement une ligne droite n'est pas courbé. Par exemple, la diffusion de la lumière pour aller distance en ligne droite est le plus court, mais la propagation de la lumière due à la piste inégale du temps et de l'espace, souvent courbé.

En plus de la gaussienne, la première géométrie non-euclidienne est en mesure de comprendre le mathématicien italien Beltrami, il a trouvé à la surface (Figure 3) boucle, un peu comme deux sections de corne sur cette surface dans la région en 1868 pour la géométrie non-euclidienne, la géométrie non-euclidienne de sorte que d'autres mathématiciens peuvent comprendre. En fait, une surface hyperboloïde selle similaire (fig. 4) peut être entièrement applicable à la géométrie non-euclidienne.

De toute évidence, la relation entre la surface du point selle, ligne, surface, comme d'ailleurs décrit Lobachevsky:

Deux lignes parallèles, infiniment proches d'un côté, de l'autre côté opposé à l'infini;

Trois intérieur des angles du triangle et inférieur à 180 °;

Il y a une longueur de bord de zéro et de l'angle intérieur infini et triangle (fig. 5).

De plus, il y a beaucoup de phénomènes étranges. Par exemple, dans la géométrie euclidienne, les deux lignes droites perpendiculaires à la même ligne parallèlement les unes aux autres, tandis que dans la géométrie non-euclidienne, les deux lignes droites perpendiculaires à la même ligne, le moment où les deux extrémités du prolongement, à distance les uns des autres peuvent être plus; en la géométrie euclidienne, la présence de polygonal similaire, et en géométrie non-euclidienne, comme absent polygonal, et analogues. En bref, la géométrie euclidienne, où la théorie est parallèle axiome, ne tient pas dans la géométrie non-euclidienne, ils ont en conséquence une nouvelle signification.

géométrie sphérique est plus réaliste

En fait, parler de la géométrie non-euclidienne, les gens première pensée est la géométrie de Riemann, la géométrie de Riemann en raison de la création de la fameuse théorie d'Einstein de la relativité générale le nom.

la géométrie de Riemann est un perfectionnement de la forme de la géométrie non-euclidienne, un plus grand champ d'application, qui comprend un boîtier avant de la géométrie hyperbolique, en outre, il existe une surface fermée géométriquement, par exemple la géométrie ellipsoïdale, la géométrie sphérique et analogues. Parmi les plus intéressantes géométrie sphérique.

géométrie sphérique, à notre avis est une géométrie très étrange, il y a beaucoup de théories étranges, telles que: la longueur de la ligne est finie, fermée, la ligne la plus courte entre deux points est pas un droit, mais courbé, avait quelque chose de particulier les deux points, il existe un nombre infini de lignes droites, en ligne droite externe passant par le point, et non pas une ligne droite parallèle à la ligne droite, les deux lignes droites se coupent en deux points, il n'y a pas de notion de parallèle, les angles d'un triangle est supérieur à 180 °; absence de triangles semblables et ainsi de suite.

Les lecteurs peuvent tester ces conclusions sur la sphère, il est en effet le cas. Parce que la ligne droite est un grand cercle de la surface sphérique (un plan passant par le centre de la sphère coupe la sphère de cercle), il est fermé, de sorte que la ligne la plus courte (à savoir, une ligne droite définie dans la géométrie sphérique) entre deux points de la sphère sont deux points sur le grand cercle entre l'arc, en même temps, il y aura le grand diamètre du cercle de la balle avec deux points d'intersection, les deux points peuvent être faits par de nombreuses lignes droites (grand cercle), à travers la terre comme pôles nord et sud peuvent avoir un nombre incalculable correspondant à la terre peut être divisé en moyenne comme les deux moitiés de la chaîne, s'il existe un point au-delà de la chaîne, par la présente, nous avons fait une ligne droite peut avoir d'innombrables, qui sont les fils de chaîne se croisent, ne sont pas parallèles, et il y a deux points d'intersection, en outre, à la fois à peindre, dessiner des angles d'un triangle et d'une surface sphérique est supérieur à 180 °, par exemple 2 ° et 1 ° de longitude chaîne équateur ligne et deux triangles formera angle taille, petit sommet du triangle est de 1 °, deux angles de base il est de 90 °, les angles d'un triangle est petit et est de 181 °. Le grand angle de sommet de triangle extérieur est de 359 °, deux angles de base sont de 90 °, et ainsi un grand angles d'un triangle est 539 °; 0 ° et un angle de sommet d'un triangle formé par la longitude est de 180 ° à 180 °, deux les angles de base sont de 90 °, de sorte que les angles d'un triangle est 360 °.

En fait, la plupart de l'univers sont la sphère céleste, implique la géométrie de ces objets, il faut utiliser la géométrie sphérique. Notre planète elle-même est une boule, doit être appliquée géométrie sphérique, pourquoi insistons-nous sur un maximum de 2.000 ans de la géométrie plane européenne, même non plane après, nous ne le comprenions pas?

Peut-être l'insignifiance relative de nous, la terre est trop grande, de petite taille approximation de la géométrie plane de terre sans erreur évidente, donc supposons également que la géométrie plane européenne est la bonne que la géométrie. Il n'est pas.

La surface de la terre est projetée sur un cylindre

Avec l'émergence de la géométrie non-euclidienne, le 19ème siècle a été une géométrie appelée géométrie projective. Cette géométrie est très proche de la vie, il est l'étude du phénomène de projection, par exemple, il y a une lumière qui est irradiée sur le verre transparent, le motif du verre projetée sur le sol est semblable?

Par exemple, si le verre est pas parallèle au sol, deux lignes parallèles projetées sur le verre à la lumière ne peut pas être parallèles, cercle sur l'ombre de verre à la lumière généralement plus d'un cercle, mais une ellipse, plus exotique, si le verre est assez grand, un cercle au-dessus est assez grand, le verre érigé, si la hauteur de la lampe ne dépasse pas la hauteur du cercle, le cercle sera projeté sur le sol est un! hyperbolique en géométrie projective, ellipse, hyperbole, parabole sont motif « congruent », en ajustant l'angle de la lumière, en les convertissant à l'autre, par exemple un cercle peut être une hyperbole d'ombre dans certains cas, et en ajustant l'angle de la lumière, peuvent également être laisser l'ombre hyperbolique plus grande, plus petite, ou d'une forme de changement.

Il y a aussi une géométrie projective est de graphiques d'étude à l'infini projection de lumière est de savoir comment le changement. Si la lumière au-dessus dans le soleil, en raison des grandes distances de la Terre, une petite échelle peut être considérée comme projection parallèle, deux lignes droites parallèles projetées sur le verre du sol est également parallèle des lignes droites, des cercles sur le verre seront projetés sous forme d'ellipse, mais il ne sera pas hyperbolique.

La géométrie projective est très intéressant, les objets ordinaires peuvent avoir une projection étrange, des objets complètement différents, peut-être la projection est la même.

Tracée sur la carte, la géométrie projective est utile, parce que la saillie de dessin de carte requiert certaines règles, telles que la carte de navigation conventionnel projection Mercator, en supposant que la terre est enfermé dans un cylindre creux, la paroi cylindrique et la ligne d'équateur vertical, puis une terre virtuelle a une lumière, le motif est projeté sur la surface sphérique de la surface cylindrique, une surface cylindrique et ensuite expansé pour obtenir la carte. Cet avantage est à la carte dans un plan sphérique, plus intuitive. L'inconvénient est proche de la ligne de l'équateur de plus réaliste, mais plus par les pôles, plus aliasing.

périmètre illimité, zone limitée

Dans les années 1970, il y a eu une géométrie plus bizarre - la géométrie fractale. « Une zone limitée, mais il a périmètre infini » et « un objet infini avec une grande surface, le volume est égal à zéro », qui peuvent tous deux être difficile à comprendre, mais dans la géométrie fractale, mais une telle situation foisonnent.

Retirez le stylo et le papier, laissez-nous tirer maintenant un graphique avec périmètre infini (zone limitée, bien sûr, inutile de dire, vous ne pouvez pas venir avec un espace infini de papier).

La première étape: dessiner un triangle équilatéral.

Deuxième étape: trois aliquotes de chaque bord.

La troisième étape: la pièce trisection segment intermédiaire de la ligne de base, dessiner un petit triangle équilatéral.

Quatrième étape: Après avoir terminé la peinture, placez le bord inférieur de la lingette.

Répétée la deuxième ci-dessus à la quatrième étape, vous obtiendrez une courbe en forme de flocon de neige, est répété à l'infini de fois, ce qui entraîne une courbe mathématique appelé flocon de neige Koch.

Nous regardons le flocon de neige Koch Quelles sont les caractéristiques. Tout d'abord, l'opération est répétée à chaque fois, sur l'élargissement de son périmètre 4/3, n fois répétées, ce qui est le périmètre initial de la circonférence. Lorsque n tend vers l'infini, sa circonférence tend vers l'infini.

Cependant, il a augmenté la région était entourée de pas grand-chose, ne jamais dépasser le triangle d'origine au centre d'un cercle, du centre vers la zone de sommet d'un rayon de cercle. Ceci, vous pouvez vérifier au moment du dessin. Il peut être obtenu par le calcul simple, quand n tend vers l'infini, la zone délimitée par flocon de neige Koch est 8/5 fois la zone d'origine d'un triangle.

Vous voyez, flocon de neige Koch est un exemple: il a périmètre infini, mais en même espace clos est limitée.

Si l'un des flocons de neige Koch est une petite partie du zoom, vous verrez, peu importe la taille de la partie, sa forme et dans l'ensemble sont similaires. Ceci est une caractéristique de la géométrie fractale: quel que soit le complexe, et l'ensemble est similaire au bus local; de manière appropriée la géométrie agrandie ou réduite, toute la structure inchangée. Ceci est appelé auto-similarité.

En fait, l'auto-similitude est pas étranger à nous. Beaucoup de choses dans la vie sont auto-semblables. Par exemple, un aimant dans chaque partie sont dans son ensemble a le même pôles nord et sud, fendu en permanence, et chaque partie a un champ magnétique global similaire.

En fonction de la longueur de la règle du littoral

Nous avons probablement tous appris dans la leçon de géographie du secondaire avant, la côte continentale de la Chine de plus de 18.000 kilomètres de côtes il y a plus de 14000 îles mille mètres ...... Cependant, cette déclaration précise?

Pourquoi mentionner? Lisez l'exemple suivant, vous saurez.

Années 1920, un scientifique britannique a été très confus au moment des frontières de l'enquête et le littoral tortueuse, il a vérifié l'encyclopédie de l'Espagne, le Portugal, la Belgique et d'autres pays, ces pays ont constaté que les estimations de la longueur de la différence de frontière commune de 20%. Pourquoi pas? Se est avéré être la longueur des normes traditionnelles de ces pays ont utilisé différentes causes, en d'autres termes, même si la même période de la frontière, si elle est utilisée dans la règle de mesure de longueurs différentes, causera de grandes erreurs de mesure.

La raison en est tout à fait évident. Imaginons: un arpenteur-géomètre tenant un compas, Zhang a mis dans une grande, étape par étape pour mesurer une côte. Pour lui, même si la connexion de deux points adjacents est incurvée autour d'une courbe, mais dans le processus de mesure, également connu comme une ligne droite entre eux pris en considération. De cette façon, il a mesuré la longueur de la côte est certainement mieux que le court réel.

S'il boussoles Zhang Cheng 1/10 mètres de large, sa mesure refléterait plus de détails quand il a mesuré la longueur du littoral de 1 mètre de longueur mesurée est plus longue.

S'il Diviseur 1/100 de grande portée, et que la longueur mesurée de la côte sera plus ...... Bref, la règle de mesure avec son plus petit, plus la longueur mesurée de la côte.

Ensuite, la longueur mesurée de la côte est en croissance, et enfin deviendra une valeur fixe il? Malheureusement, le Mandelbrot mathématicien américain a montré que lorsque la règle utilisée pour mesurer diminue, la longueur de la côte ne tend à une valeur constante, mais va augmenter indéfiniment, quand la règle devient heures sans fin, la côte devient infiniment longue.

En fait, cette conclusion nous pouvons également être trouvée dans la courbe Koch. Supposons que la longueur du côté du triangle équilatéral d'origine est de 1 mètre, puis on utilise la règle de 1 mètre pour mesurer la courbe de Koch, qui est la circonférence de 3 mètres, au milieu on ignore tous les détails, quand on règle à 1/3 m mesure, une légère augmentation de peu de détails, est de quatre mètres de circonférence, 1/9 mètre de mesure lorsque la règle, qui est 16/3 périmètre m; m mesurée avec une règle à une circonférence en mètres, quand n tend vers l'infini, la règle devient infiniment petit, de plus en plus de détails sont inclus dans les résultats de sa circonférence tend vers l'infini vers le haut.

le littoral de flocon de neige Koch et que, après de nombreuses années d'érosion de l'eau, sur la côte, où les irrégularités concaves-convexes particulièrement élevé. Avec des mesures plus sophistiquées, la longueur de la côte augmentera des milliers de fois, et non pas seulement de corriger les problèmes en quelques chiffres après la virgule.

Vous voyez donc, grosso modo longue ligne côtière n'a pas de sens, cela dépend de la longueur de la mesure de la règle du littoral utilisé.

Les dimensions peuvent également être une fraction

La géométrie fractale a changé notre compréhension des dimensions.

Comme nous le savons tous, la vision traditionnelle est que les dimensions sont des nombres entiers: zéro dimensions, une dimension linéaire, plan en deux dimensions ou d'une sphère, l'espace dans lequel nous vivons 3-D, où la théorie de la relativité, le temps et l'espace sont unifiés en un tout, si le temps et l'espace il est une théorie des supercordes 4 dimensions ...... dans les années, et même 10 dimensions espace-dimensionnelle. Mais de toute façon, les dimensions sont des nombres entiers.

Cette géométrie fractale, seule une certaine quantité de valeur (comme la longueur du littoral) à proximité de la mesure, mais aussi même la mesure liée à la dimension. Par exemple, si l'on trace une ligne droite, si la quantité de 0:00 à ses dimensions, le résultat est infini, parce que la ligne droite infinie comprenant une pluralité de points, si elle équivaut à un plan, ce qui résulte 0, car aucun linéaire comprenant en plan. Seule une petite partie de ses dimensions à la même quantité de celui-ci donne une valeur finie, où a est la dimension de la ligne droite (entre 01D et 2D).

Pour la courbe Koch mentionné ci-dessus, la ligne entière est infiniment long, plié, évidemment, avec une petite mesure de segments de ligne droite, le résultat est l'infini, tandis que la quantité d'un avion, le résultat est égal à 0, on peut voir que la dimension du diélectrique entre 1 et 2. Dans la géométrie fractale, il y a la méthode de calcul de la stricte dimension. Par exemple, d'après les calculs, la dimension de la courbe de Koch est une fraction, dont la valeur est d'environ 1,26. Les dimensions peuvent être une fraction, qui est la géométrie fractale nous donne un tout nouveau concept.

Nous pouvons faire pour comprendre les dimensions fractales. Mandelbrot a décrit un changement de dimension d'une boule de fil: vu de grandes distances, comme un avion d'une hauteur de vue, cela peut être considéré comme une boule de dimension de fil 00h00, vu de faible distance, il est une sphère en 3 dimensions, plus récemment, par exemple, vous transformé en une fourmi rampant le long du fil, il devient alors une corde à un unidimensionnelle, si vous obtenez petit nouveau, cette corde pour vous dire qu'il est trop épais, il est une colonne en trois dimensions ...... bref, leur taille et les dimensions que la distance que vous regardez en constante évolution. Ainsi, entre ces observations d'état de point intermédiaire alors?

De toute évidence, la boule de fil et non pas la dimension exacte devient limite à une dimension de 3, dans l'état de transition, il devient une dimension fractionnaire.

Dans la nature, non seulement la côte, les nuages, les lignes de contour des montagnes, la foudre, la neige, et même le chou-fleur ont une dimension fractionnaire. Parce que la géométrie fractale pour décrire des objets naturels avec plus de précision, la géométrie fractale est décrite comme « propre géométrie de la nature. »

Prenant la parole devant ce géométrique étrange, presque tout le monde peut trouver des choses dans le monde réel pour correspondre. En fait, pas la géométrie très étrange, mais nous « avons pas vu le monde », selon la logique de la pensée traditionnelle de la géométrie plane pour comprendre le monde, sont réunis pour réfléchir la géométrie du monde réel, mais se sentir étrange.

Au contraire, la géométrie plane euclidienne est le plus état spécial, idéal géométrique « bizarre », parce que la réalité de l'univers presque pas de plan réel. Puissions Fait intéressant, non seulement nous utilisons seulement dans le plan géométrie 2000 années de temps, mais en fin de compte, maintenant en raison de la géométrie plane est relativement simple, et parfois nous ne cherchons pas précise, tant que les problèmes approximative de manipulation simplifiée sur la ligne.